使用真值表定义联结词

接下来，我们讨论真值表。它可以被用于机动地确定一个复合命题的真值。但在进入这一话题之前，我们首先使用它来定义上述真值函项联结词。

否定。为了使用真值表来定义否定，需要记住如下规则：

专栏11-4　否定式的真值规则

一个否定式是真的，当且仅当被否定的命题是假的；否则，它是假的。

真值表是通过如下方式来定义否定的：规定简单命题P的否定式～P何时为真，何时为假。

为了构造这样的真值表，我们首先在左上角写上不加否定联结词的P，右上角写上～P。然后在左边P下方的列中，写出P的所有可能的真值，即T（真）和F（假），因为：

对于任意命题，它要么为真，要么为假。

然后，在右边～P下方的列中，写出相应的真值。这些真值是依据P的真值和否定式的真值规则，通过计算求得的。对于左侧列中的每一行，通过运用专栏11-4中的规则，可以得出右下方框所显示的真值：

第一行：当P为真时，～P为假。

第二行：当P为假时，～P为真。

其他真值函项联结词。为了定义其他真值函项联结词，首先要注意的是它们都涉及两个命题，且各个命题的真值均有两种可能：T（真）或F（假）。这决定了写在真值表左侧各列中的真和假的数目。为了计算每一列中T和F的总数，我们使用公式2n。其中，2表示任意命题具有两种可能的真值，n表示出现在公式中的不同命题的数目。在否定式的定义中，只有一个命题，因此n等于1，而2n代表两个真值：一个是T，一个是F。但是，对于合取式、析取式、条件式和双条件，它们均包含两个命题，分别表示为P和Q。这时，n等于2，而2n代表每个命题被赋予四个真值。在左边第一列中，我们自上而下指派四个真值：T、T、F和F。在左边第二列中，自上而下指派T、F、T和F。将要确定真值的那个公式位于表的右上方。在该公式的下面，每一行所填的真值是依据该行左边的真值和相应的真值规则通过计算而得到的。现在，我们为剩下的每一种复合命题构造真值表。

合取。为了使用真值表来定义这个联结词，需要记住如下规则：

专栏11-5　合取式的真值规则

一个合取式是真的，当且仅当其合取支都是真的；否则，它是假的。

真值表的左侧有两列，每一个析取支被赋予四个真值，两个T、两个F。水平的四行是使用专栏11-5中的规则计算出来的真值组合。右侧方框中的结果表明一个合取式是真的，当且仅当它的两个合取支都为真。

析取。使用真值表定义这个联结词，需要记住如下规则：

专栏11-6　析取式的真值规则

一个析取式是真的，当且仅当至少有一个析取支是真的；否则，是假的。

析取式真值表的左侧共有两列，每个析取都有四次赋值，两次T、两次F。水平的四行是使用专栏11-6中的规则计算出来的真值组合。最终的结果填写在右边那一列，其意义与析取联结词的定义相同；它表明一个析取式是真的，当且仅当，至少有一个析取支是真的。

实质条件。为了使用真值表来定义这个联结词，请记住如下规则：

专栏11-7　实质条件式的真值规则

一个实质条件式是假的，当且仅当其前件为真，并且后件为假；否则，该实质条件式为真。

和前面一样，真值表的左侧有两列，每一列包含给前件（后件）赋予的四个真值，即两个T和两个F。表中水平的四行是通过应用专栏11-7中的规则计算出来的可能的真值组合。右侧方框中的结果就等价于实质条件的定义。它表明：除前件真、后件假之外，在其他所有情况下，实质条件式均为真。

实质双条件。为了使用真值表来定义这个联结词，需要记住如下规则：

专栏11-8　实质双条件式的真值规则

一个实质双条件式是真的，当且仅当它的两个支命题具有相同的真值；否则，它为假。

在这个真值表的左侧有两列，每一列给公式中的简单命题指派四个真值（两个T和两个F）。四个水平的行是通过应用专栏11-8中的规则计算出来的。真值表的结果在右侧方框中。这个真值表就等价于实质双条件式的定义。该真值表表明，只有在双条件式的两个支命题具有相同真值的情况下（即它们要么皆为真，要么皆为假），它才是真的。

上述的五个真值表为五个真值函项联结词提供了定义。接下来，我们可以用类似的方法来确定其他复合命题的真值。